Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與定直線相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的任一條直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ，（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義即可得解；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件，由題意可得直線與的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，，設(shè),再由直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入求解即可.

（1）解法1：依題意動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義，可得動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線， 其中．

動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．

解法2：設(shè)動(dòng)圓圓心 ，依題意：.

化簡(jiǎn)得：，即為動(dòng)圓圓心的軌跡的方程

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件．

由可知，直線與的斜率互為相反數(shù)，

即 ①

直線的斜率必存在且不為，設(shè),

由得．

由,得或．

設(shè)，則．

由①式得 ,

,即．

消去，得,

,

,

存在點(diǎn)使得．