Question

已知平面五邊形關(guān)于直線對(duì)稱（如圖（1）），，，將此圖形沿折疊成直二面角，連接、得到幾何體（如圖（2））

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面的所成角的正切值.

 

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)以及和的坐標(biāo)，進(jìn)而得到兩向量共線，即可證明線面平行；（2）先根據(jù)條件求出兩個(gè)半平面的法向量的坐標(biāo)，再求出這兩個(gè)法向量所成角的余弦值，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得結(jié)果.

試題解析：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系.

由已知與平面幾何知識(shí)得，

∴，∴，∴AF∥DE，

又

∥ 6分

（2）由（1）得四點(diǎn)共面，，設(shè)平面

，則

不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一個(gè)法向量為

∴，設(shè)平面與平面的所成角為

∴所求角的正切值為 13分.

考點(diǎn)：1.直線與平面平行的判定；2.用空間向量求二面角.