Question

2008年5月12日，四川汶川發(fā)生8.0級(jí)特大地震，通往災(zāi)區(qū)的道路全部中斷.5月12日晚，抗震救災(zāi)指揮部決定從水路（一支隊(duì)伍）、陸路（東南和西北兩個(gè)方向各一支隊(duì)伍）和空中（一支隊(duì)伍）同時(shí)向?yàn)?zāi)區(qū)挺進(jìn)．在5月13日，仍時(shí)有較強(qiáng)余震發(fā)生，天氣狀況也不利于空中航行．已知當(dāng)天從水路抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率是

1

2

，從陸路每個(gè)方向抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率都是

1

2

，從空中抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求在5月13日恰有1支隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率；
（Ⅱ）求在5月13日抵達(dá)災(zāi)區(qū)的隊(duì)伍數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式能求出在5月13日恰有1支隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率．
（Ⅱ）設(shè)5月13日抵達(dá)災(zāi)區(qū)的隊(duì)伍數(shù)為ξ，則ξ=0、1、2、3、4．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），
P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出在5月13日抵達(dá)災(zāi)區(qū)的隊(duì)伍數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答： （理）（Ⅰ）解：依據(jù)題意，∵隊(duì)伍從水路或陸路抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率相等，
將“隊(duì)伍從水路或陸路抵達(dá)災(zāi)區(qū)”視為同一個(gè)事件．
記“隊(duì)伍從水路或陸路抵達(dá)災(zāi)區(qū)”為事件C，且B、C相互獨(dú)立，
而且P（B）=

1

4

，P（C）=

1

2

．…（2分）
在5月13日恰有1支隊(duì)伍抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率是
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

0 3

×(1-

1

2

)3×

1

4

=

5

16

．…（5分）
（Ⅱ）解：依據(jù)題意，因?yàn)殛?duì)伍從水路或陸路抵達(dá)災(zāi)區(qū)的概率相等，
則將“隊(duì)伍從水路或陸路抵達(dá)災(zāi)區(qū)”視為同一個(gè)事件．
記“隊(duì)伍從水路或陸路抵達(dá)災(zāi)區(qū)”為事件C，且B、C相互獨(dú)立，
而且P（B）=

1

4

，P（C）=

1

2

．
設(shè)5月13日抵達(dá)災(zāi)區(qū)的隊(duì)伍數(shù)為ξ，則ξ=0、1、2、3、4．…（6分）
由已知有：P（ξ=0）=

C

0 3

×(1-

1

2

)3×

3

4

=

3

32

，…（7分）
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

0 3

×(1-

1

2

)3×

1

4

=

5

16

，…（8分）
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)×

3

4

+

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2×

1

4

=

3

8

，…（9分）
P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

3

4

+

C

2 3

×(

1

2

)2+(1-

1

2

)×

1

4

=

3

16

，…（10分）
P（ξ=4）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

1

4

=

1

32

．…（10分）
因此其概率分布為：

ξ	0	1	2	3	4
P	3 32	5 16	3 8	3 16	1 32

…（11分）
所以在5月13日抵達(dá)災(zāi)區(qū)的隊(duì)伍數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為：
Eξ=0×

3

32

+1×

5

16

+2×

3

8

+3×

3

16

+4×

1

32

=

7

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的合理運(yùn)用．