Question

【題目】設函數(shù)f（x）=4x3+ ，x∈[0，1]，證明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣2x+3x2；
（Ⅱ） ＜f（x）≤ ．

Answer 1

【答案】證明：（I）令g（x）=（1+x）2（1﹣2x+3x2﹣4x3），x∈[0，1]，

則g′（x）=﹣20（1+x）x3≤0，當且僅當x=0時取等號，

∴g（x）在[0，1]上單調遞減，故g（x）≤g（0）=1，

∴（1+x）2（1﹣2x+3x2﹣4x3）≤1，

∴ ≥1﹣2x+3x2，

即f（x）≥1﹣2x+3x2．

（II）由（I）知f（x）≥1﹣2x+3x2=3（x﹣ ）2≥ ，

∵兩處等號不能同時成立，

∴f（x）＞ ．

f′（x）=12x2﹣ = ，

令h（x）=6x2（1+x）3﹣1，則f（x）在[0，1]上單調遞增，

∵h（0）=﹣1，h（1）=47＞0，

∴h（x）在（0，1）上存在唯一一個零點x0，

∴當0＜x＜x0時，f′（x）＜0，當x0＜x＜1時，f′（x）＞0，

∴f（x）在[0，1]上先減后增，

又f（0）=1，f（1）= ，

∴f（x）≤f（1）= ．

綜上， f（x）≤

【解析】（I）構造函數(shù)g（x）=（1+x）2（1﹣2x+3x2﹣4x3），判斷g（x）的單調性得出最大值，化簡即可得出結論；（II）判斷f（x）的單調性即可f（x）的最大值，利用（I）得出f（x）＞ ．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數(shù)單調性法，數(shù)學歸納法等才能正確解答此題．