Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA′=1，點(diǎn)M、N分別為A′B，B′C′的中點(diǎn)
（1）證明：平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）求直線MN與平面AA′B′B所成角的正切值；
（3）求三棱錐A′-MNC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明CA⊥平面AA′B′B，可得平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）取A′B′的中點(diǎn)D，連接MD，則ND⊥平面AA′B′B，∠NMD為直線MN與平面AA′B′B所成角，即可求直線MN與平面AA′B′B所成角的正切值；
（3）利用V_A′-MNC=V_N-A′MC=

1

2

V_N-A′BC=

1

2

V_A′-NBC，求三棱錐A′-MNC的體積．

解答： （1）證明：∵∠BAC=90°，
∴CA⊥AB，
∵CA⊥AA′，AA′∩AB=A，
∴CA⊥平面AA′B′B，
∵CA?平面AA′C′C，
∴平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）解：取A′B′的中點(diǎn)D，連接MD，則ND⊥平面AA′B′B，
∴∠NMD為直線MN與平面AA′B′B所成角，
∵點(diǎn)M為A′B的中點(diǎn)，AC=

2

，AA′=1，
∴DN=

2

2

，DM=

1

2

，
∴tan∠NMD=

2

；
（3）解：連結(jié)BN，由題意A′N⊥B′C′，
∵平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，
∴A′N⊥平面NBC．
又A′N=

1

2

B′C′=1，
故V_A′-MNC=V_N-A′MC=

1

2

V_N-A′BC=

1

2

V_A′-NBC=

1

6

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直、平面與平面垂直的證明，考查線面角，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．