Question

已知函數f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函數f（x）為奇函數，求實數k的值；
（2）若對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數f（x）=2^x+k•2^-x為奇函數，建立等式，即可求實數k的值；
（2）對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，即1-k＜2^2x對任意的x∈[0，+∞）成立，從而可求實數k的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數f（x）=2^x+k•2^-x為奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴2^-x+k•2^x=-（2^x+k•2^-x）
∴（1+k）+（k+1）2^2x=0恒成立
∴k=-1
（2）∵對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，
∴2^x+k•2^-x＞2^-x成立
∴1-k＜2^2x對任意的x∈[0，+∞）成立
∵y=2^2x在[0，+∞）上單調遞增
∴函數的最小值為1
∴1-k＜1
∴k＞0
點評：本題考查函數的奇偶性，考查恒成立問題，解題的關鍵是利用奇偶性的定義，利用分離參數法求解恒成立問題．