Question

已知數(shù)列{a_n}為公差不為0的等差數(shù)列，a₅和a₇的等差中項為6，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，令b_n=

1

an•an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求a_n及T_n；
（Ⅱ）若T_n≤λa_n+1，對?n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項和公差，由此求出a_n=n．由bn=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用錯位相減法能求出Tn=

n

n+1

．
（Ⅱ）由已知條件得λ≥

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

，由此能求出λ的最小值為

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差數(shù)列，設公差為d，
則由題意得

a5+a7=12 a2a8=a42

，即

2a1+10d=10 (a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2

，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
由bn=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
得Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
（Ⅱ）∵T_n≤λa_n+1，?n∈N^*，即

n

n+1

≤λ(n+1)恒成立，
∴λ≥

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

，
∵n+

1

n

≥2

n• 1 n

=2，
∴λ≥

1

4

，即λ的最小值為

1

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，考查實數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．