Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，O是坐標原點，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，|AB|＝4．

（1）求橢圓C的標準方程．

（2）若P是橢圓C上異于A，B的一點，直線l交橢圓C于M，N兩點，AP∥OM，BP∥ON，則△OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）是，定值2．

【解析】

由題知,,由及的關系即可求解;

由題意可得A（﹣2，0），B（2，0），設P（x0，y0）則x02+2y02＝8，可得,分直線l的斜率存在和不存在兩種情況分別求△OMN的面積即可.

由2a＝4，e，

解得a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，

則橢圓的方程為1；

（2）由題意可得A（﹣2，0），B（2，0），

設P（x0，y0），可得1，即x02+2y02＝8，

則，

因為AP∥OM,BP∥ON，則，

①當直線l的斜率不存在時，設l：x＝m，聯(lián)立橢圓方程可得y＝±，

所以,由,

可得，解得m＝±2，所以,

所以S△MNO2×22；

②當直線l的斜率存在時，設直線l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立直線y＝kx+n和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，

可得x1+x2，x1x2，

y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，

由k2，可得n2＝2+4k2，

由弦長公式可得,|MN|，

點（0，0）到直線l的距離為，

所以S△OMNd|MN|＝2，

綜上可知,△OMN的面積為定值2．