Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分別是CC₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AF，由已知條件推導(dǎo)出面ABC⊥面BB₁C₁C，從而AF⊥B₁F，由勾股定理得B₁F⊥EF．由此能證明平面AB₁F⊥平面AEF．
（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面BB₁C₁C，AF⊥B₁F．…（2分）
設(shè)AB=AA₁=1，則B1F=

6

2

，EF=

3

2

，B1E=

3

2

．
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B₁F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF．…（4分）
而B₁F?面AB₁F，故：平面AB₁F⊥平面AEF．…（5分）
（2）解：以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，
設(shè)AB=AA₁=1，
則F（0，0，0），A（

2

2

，0，0），B₁（0，-

2

2

，

1

2

），E（0，-

2

2

，

1

2

），

AE

=(-

2

2

，-

2

2

，

1

2

)，

AB1

=（-

2

2

，

2

2

，1）．…（7分）
由（1）知，B₁F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：

m

=

FB1

=（0，

2

2

，1）．…（9分）
設(shè)平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • AE =- 2 2 x- 2 2 y+ 1 2 z=0 n • AB1 =- 2 2 x+ 2 2 y+z=0

，
取x=3，得

n

=(3，-1，2

2

)．…（11分）
設(shè)二面角B₁-AE-F的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 2 2 +2 2

(- 2 2 )2+1 • 32+(-1)2+(2 2 )2

|=

6

6

．
由圖可知θ為銳角，
∴所求二面角B₁-AE-F的余弦值為

6

6

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．