Question

【題目】將個數(shù)，，…，的連乘積記為，將個數(shù)，，…，的和記為．（）

（1）若數(shù)列滿足，，，設(shè)，，求；

（2）用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．若數(shù)列滿足，，，求的值；

（3）設(shè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足：當(dāng)（）時(shí)，，問是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由（已知）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）結(jié)合題意，處理得到，可以采取逐項(xiàng)消元法，計(jì)算結(jié)果，即可。（2）處理得到，求和，相互消去，即可。（3）結(jié)合題意，計(jì)算發(fā)現(xiàn)，故最后一項(xiàng)必定出現(xiàn)在1+2+3+…+17=153項(xiàng)之后，建立關(guān)于n的等式，發(fā)現(xiàn)存在正整數(shù)n，即可。

解：（1）由，得,或

且，

所以．又，所以，．

從而=1.

（2）由，，因?yàn)?/span>，

所以，，

所以，，

因?yàn)?/span>，所以．

（3）若存在正整數(shù)n，則由已知得，

，且，

因此所求和的最后一項(xiàng)必定出現(xiàn)在1+2+3+…+17=153項(xiàng)之后，且，共有個，

所以，,

所以，，解得．

所以存在正整數(shù)n=166，使得.