Question

已知圓系方程x²＋y²－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R，求證：該圓系恒過定點．

Answer 1

答案：
解析：

≠≠　　證法一：將此圓系變形，得到方程a(2y－2x)＋x2＋y2－4y＋2＝0，設其恒過定點(x1，y1)，這意味著不論a為何值都有a(2y1－2x1)＋x21＋y21－4y1＋2＝0成立，它等價于方程組解得x1＝y(tǒng)1＝1，所以該圓系恒過定點(1，1)． 　　證法二：取a＝0，得x2＋y2－4y＋2＝0，① 　　取a＝2，得x2＋y2－4x＋2＝0．② 　　①－②，得y＝x，代入①得 　　將(1，1)代入x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，得 　　12＋12－2a＋2(a－2)＋2＝2－2a＋2a－4＋2＝0恒成立． 　　所以a取不為1的任意實數(shù)時，上述圓系恒過定點(1，1)． 　　解析：對求這種含參變量(如本題中的a)方程恒過的定點的問題，一般的辦法是將這個含參變量分離出來后通過討論其恒過的定點所需滿足的條件求解．還有一種辦法就是將a取兩個特殊值，得兩個圓的方程，求其交點，必為所求的定點，求出交點坐標后，只需再驗證即可．需要注意的是：當求到定點后，必須再代入方程進行一次檢驗．只有這樣才能表示圓系對所有的a≠1，且a∈R恒過定點．題目要求a≠1是因為a＝1時圓系方程代表一個點．