已知函數(shù)
在
處取得極值
.
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）設(shè)
是曲線
上除原點
外的任意一點,過
的中點且垂直于
軸的直線交曲線于點
,試問：是否存在這樣的點,使得曲線在點處的切線與平行？若存在,求出點的坐標(biāo)；若不存在,說明理由；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)
,若對于任意
,總存在
,使得
,求實數(shù)
的取值范圍.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）存在，坐標(biāo)為
；（Ⅲ）的取值范圍是
.
解析試題分析：（Ⅰ）由題意知
，解出
；（Ⅱ）先假設(shè)存在這樣的點并設(shè)出點的坐標(biāo)
，然后根據(jù)斜率相等列出等式，解得
即可；（Ⅲ）有3中解法，1的基本思路是：先利用導(dǎo)數(shù)求得
的最小值，然后說明
在
上的最小值不能大于的最小值，根據(jù)這一條件求得
的范圍；2的基本思路是：先利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值-2，要使總存在,使得成立，說明
在
上有解，利用二次函數(shù)知識解答；3的基本思路和2有相似地方，只是在說明在上有解時，不是利用二次函數(shù)知識，而是利用換元和分離參數(shù)法解答.
試題解析：⑴∵
,∴
.又在處取得極值.
∴
,即
,解得
,
,經(jīng)檢驗滿足題意,∴
.
⑵由⑴知
.假設(shè)存在滿足條件的點,且
,則
,
又
.則由
,得
,∴
,∵
,
∴
,得
.故存在滿足條件的點
此時點的坐標(biāo)為
或
.
⑶解法
：
,令
,得
或.
當(dāng)變化時,
、
的變化情況如下表：