已知函數(shù)在
處取得極值
.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設(shè)是曲線
上除原點
外的任意一點,過
的中點且垂直于
軸的直線交曲線于點
,試問:是否存在這樣的點
,使得曲線在點
處的切線與
平行?若存在,求出點
的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),若對于任意
,總存在
,使得
,求實數(shù)
的取值范圍.
(Ⅰ);(Ⅱ)存在,坐標(biāo)為
;(Ⅲ)
的取值范圍是
.
解析試題分析:(Ⅰ)由題意知,解出
;(Ⅱ)先假設(shè)存在這樣的點并設(shè)出點的坐標(biāo)
,然后根據(jù)斜率相等列出等式,解得
即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用導(dǎo)數(shù)求得
的最小值,然后說明
在
上的最小值不能大于
的最小值,根據(jù)這一條件求得
的范圍;2的基本思路是:先利用導(dǎo)數(shù)求得
的最小值-2,要使總存在
,使得
成立,說明
在
上有解,利用二次函數(shù)知識解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在說明
在
上有解時,不是利用二次函數(shù)知識,而是利用換元和分離參數(shù)法解答.
試題解析:⑴∵,∴
.又
在
處取得極值
.
∴,即
,解得
,
,經(jīng)檢驗滿足題意,∴
.
⑵由⑴知.假設(shè)存在滿足條件的點
,且
,則
,
又.則由
,得
,∴
,∵
,
∴,得
.故存在滿足條件的點
此時點的坐標(biāo)為
或
.
⑶解法:
,令
,得
或
.
當(dāng)變化時,
、
的變化情況如下表: