Question

已知函數(shù)f（x）=

3

8

x²-2x+2+lnx
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在[e^-2，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值為0，解出x的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2））由e^-2=

1

e2

＜

2

3

且f（e^-2）＜0，再和函數(shù)的最值比較，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）∵f′x）=

3

4

x-2+

1

x

=

3x2-8x+4

4x

，
令f′（x）=0，解得：x=

2

3

，x=2，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為：（0，

2

3

），（2，+∞），減區(qū)間為（

2

3

，2）；
（2）∵e^-2=

1

e2

＜

2

3

且f（e^-2）=

3

8

e^-4-2e^-2=e^-2（

3

8

e^-2-2）＜0，
而f（x）_min=f（2）=-

1

2

+ln2＞0，f（x）_max=f（

2

3

）＞f（2）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在[e^-2，+∞）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．