Question

以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²+6ρcosθ-2ρsinθ+6=0，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=3cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的長．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ和條件，將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）利用平方關(guān)系消去θ得到曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，將兩個(gè)圓的方程相減得的直線AB的方程，利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出|AB|的長．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²+6ρcosθ-2ρsinθ+6=0，
且ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+6x-2y+6=0；…（3分）
（Ⅱ）由

x=3cosθ y=3sinθ

知，
兩個(gè)方程平方相加得，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=9，
圓C₁的方程減去圓C₂的方程得：6x-2y+15=0，
∴公共弦所在的直線AB的方程為6x-2y+15=0，
∴公共弦|AB|=2

9-( |0-0+15| 36+4 )2

=

3 6

2

．…（7分）

點(diǎn)評：本小題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，公共弦所在的直線方程的求法，以及弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．