Question

求函數(shù)y=cos2x+sinx(|x|≤

π

4

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：求出絕對值不等式的解集得出x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到sinx的范圍，設(shè)sinx=t，從而得到t的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把函數(shù)解析式化為關(guān)于sinx的式子，即關(guān)于t的二次函數(shù)，由t的范圍，利用二次函數(shù)求最值的方法即可得到函數(shù)的最大值及最小值．

解答：解：由|x|≤

π

4

，得到-

π

4

≤x≤

π

4

，
設(shè)sinx=t，則t∈[-

2

2

，

2

2

]，
所以y=1-sin2x+sinx=-(t-

1

2

)2+

5

4

，t∈[-

2

2

，

2

2

]，
故當t=

1

2

即x=

π

6

時，ymax=

5

4

，
當t=-

2

2

即x=-

π

4

時，ymin=

1- 2

2

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題的思路是：利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把函數(shù)解析式化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，并求出自變量sinx的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決問題．