Question

計算：
（1）已知sin(π-α)-cos(π+α)=

2

3

(

π

2

＜α＜π)，求sinα-cosα的值．
（2）求函數(shù)y=cos²x-2sinx+3的最大值及相應x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式可將sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

（

π

2

＜α＜π）轉(zhuǎn)化為sinα+cosα=

2

3

，可得sin（α+

π

4

）=

1

3

，從而可求cos（α+

π

4

），于是進一步可得sinα-cosα的值；
（2）將y=cos²x-2sinx+3轉(zhuǎn)化為：y=5-（sinx+1）²，可求得其最大值及相應x的集合．

解答：解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

（

π

2

＜α＜π），
∴sinα+cosα=

2

3

（

π

2

＜α＜π），
∴sin（α+

π

4

）=

1

3

，又

π

2

＜α＜π，
∴

3π

4

＜α+

π

4

＜

5π

4

，
∴cos（α+

π

4

）=-

2 2

3

，
∴sinα-cosα=-

2

cos（α+

π

4

）=-

2

×（-

2 2

3

）=

4

3

；
（2）∵y=cos²x-2sinx+3
=5-（sinx+1）²，
∴當sinx=-1，即x=2kπ-

π

2

（k∈Z）時，
y_max=5，
∴函數(shù)y=cos²x-2sinx+3取到最大值5時，x的集合為{x|x=x=2kπ-

π

2

（k∈Z）}．

點評：本題考查運用誘導公式化簡求值，考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，掌握三角公式與正弦函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的基礎，屬于中檔題．