Question

若存在過(guò)點(diǎn)（0，a）的直線與曲線y=x³和y=

9

8

x2都相切，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：已知點(diǎn)（1，0）不在曲線y=x³上，容易求出過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線與曲線y=x³相切的切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線所在的方程；再利用切線與y=ax²+

15

4

x-9相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)方程聯(lián)系，得到二元一次方程，利用判別式為0，解出a的值即可．

解答：解：由y=x³?y'=3x²，
設(shè)曲線y=x³上任意一點(diǎn)（x₀，x₀³）處的切線方程為y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
（1，0）代入方程得x₀=0或 x0=

3

2

①當(dāng)x₀=0時(shí)，切線方程為y=0，則 ax2+

15

4

x-9=0，△=(

15

4

)2-4a×(-9)=0?a=-

25

64

②當(dāng) x0=

3

2

時(shí)，切線方程為 y=

27

4

x-

27

4

，由

y=ax2+ 15 4 x-9 y= 27 4 x- 27 4

?ax2-3x-

9

4

=0，△=32-4a(-

9

4

)=0?a=-1∴a=-

25

64

或a=-1．
故答案為：-

25

64

或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，本題是直線與曲線聯(lián)立的題，若出現(xiàn)形如y=ax²+bx+c的式子，注意應(yīng)討論a是否為0，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．