Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

a

與

b

之間有關(guān)系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k≥2）．
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）求

a

•

b

的最小值，并求此時

a

•

b

的夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（k）的單調(diào)性，即可得出最小值，再利用數(shù)量積定義即可得出．

解答： 解：（1）|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1．
∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k≥2）．
∴k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)，
即k2+1+2k

a

•

b

=3(1+k2-2k

a

•

b

)，
解得

a

•

b

=

k2+1

4k

．
（2）當(dāng)k≥2時，函數(shù)f(k)=

k2+1

4k

，
∴f′（k）=

k2-1

4k2

＞0，
∴f（k）在[2，+∞）上為增函數(shù)．
∴

a

•

b

的最小值為f(2)=

22+1

4•2

=

5

8

，
又∵

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞，
∴

5

8

=1×1×cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞=

5

8

，此時a與b的夾角余弦值為

5

8

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．