【題目】平面直角坐標(biāo)系中,有橢圓 (為參數(shù))和拋物線 (為參數(shù)).
(Ⅰ)是否存在這樣的值,使得該橢圓與該拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)?請說明理由.
(Ⅱ)當(dāng)取何值時(shí),該橢圓與該拋物線的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于這個(gè)交點(diǎn)與該橢圓中心的距離?
【答案】(1)不存在(2)0或 .
【解析】試題分析:(1)將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯(lián)立得方程組,轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題;(2)確定該橢圓與該拋物線的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離,確定這個(gè)交點(diǎn)與該橢圓中心的距離,比較判斷即可.
試題解析:
解:(Ⅰ)將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯(lián)立得方程組:
消去y得,令.
由拋物線方程知,則橢圓與拋物線有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程
在上有兩個(gè)不等的實(shí)根,即 即
顯然此不等式組無解,故滿足題設(shè)條件的值不存在.
(Ⅱ)由Δ≥0得,又知橢圓的半長軸,拋物線的頂點(diǎn)為,故當(dāng),即時(shí),橢圓與拋物線必相交.
若滿足題設(shè)條件,可有以下兩種情況:①橢圓中心與原點(diǎn)重合,此時(shí);②橢圓與拋物線的交點(diǎn)在橢圓中心與原點(diǎn)所連線段的垂直平分線上,即交點(diǎn)在直線上,
將代入,得,解得舍去負(fù)值).
綜上所述,滿足題設(shè)條件的值應(yīng)為0或 .
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【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且時(shí), ,則函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上不同于的一點(diǎn),直線的斜率均存在,且直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn).若點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)部,求的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為,圓的極坐標(biāo)方程為,已知與交于、兩點(diǎn),點(diǎn)位于第一象限.
(Ⅰ)求點(diǎn)和點(diǎn)的極坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)圓的圓心為,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,若直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則的值為多少?
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【題目】盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球,其中2個(gè)紅色球,3個(gè)白色球,4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分,取出1個(gè)白色球得0分,取出1個(gè)黑色球得分,現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.
(Ⅰ)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率;
(Ⅱ)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率;
(Ⅲ)設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù),求的分布列及期望.
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【題目】以下結(jié)論正確的是( )
A.若a<b且c<d,則ac<bd
B.若ac2>bc2 , 則a>b
C.若a>b,c<d,則a﹣c<b﹣d
D.若0<a<b,集合A={x|x= },B={x|x= },則A?B
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【題目】某天數(shù)學(xué)課上,你突然驚醒,發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容:
例:求x3﹣3x,x∈[0,+∞)的最小值.解:利用基本不等式a+b+c≥3 ,得到x3+1+1≥3x,于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),取到最小值﹣2
(1)老師請你模仿例題,研究x4﹣4x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(提示:a+b+c+d≥4 )
(2)研究 x3﹣3x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(3)求出當(dāng)a>0時(shí),x3﹣ax,x∈[0,+∞)的最小值.
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