【題目】如果定義在R上的函數(shù)f(x),對任意的x∈R,都有f(﹣x)≠﹣f(x),則稱該函數(shù)是“β函數(shù)”.
(Ⅰ) 分別判斷下列函數(shù):①y=2x;②y=2x+1; ③y=x2﹣2x﹣3,是否為“β函數(shù)”?(直接寫出結(jié)論)
(Ⅱ) 若函數(shù)f(x)=sinx+cosx+a是“β函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ) 已知f(x)= 是“β函數(shù)”,且在R上單調(diào)遞增,求所有可能的集合A與B.

【答案】解:(Ⅰ)①、②是“β 函數(shù)”,③不是“β函數(shù)”.…(3分)

(Ⅱ)由題意,對任意的x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x),即f(﹣x)+f(x)≠0,.

因為f(x)=sinx+cosx+a,所以f(﹣x)=﹣sinx+cosx+a.

故f(﹣x)+f(x)=2cosx+2a

由題意,對任意的x∈R,2cosx+2a≠0,即a≠﹣cosx

故實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).

(Ⅲ)①對任意的x≠0

(a)若x∈A且﹣x∈A,則﹣x≠x,f(﹣x)=f(x),這與y=f(x)在R上單調(diào)遞增矛盾,(舍),

(b)若x∈B且﹣x∈B,則f﹣(x)=﹣x=﹣f(x),這與y=f(x)是“β函數(shù)”矛盾,(舍).

此時,由y=f(x)的定義域為R,故對任意的x≠0,x與﹣x恰有一個屬于A,另一個屬于B.

②假設(shè)存在x0<0,使得x0∈A,則由x0 ,故f(x0)<f( ).

(a)若 ,則f( )= ,矛盾,

(b)若 ,則f( )= ,矛盾.

綜上,對任意的x<0,xA,故x∈B,即(﹣∞,0)B,則(0,+∞)A.

③假設(shè)0∈B,則f(﹣0)=﹣f(0)=0,矛盾.故0∈A

故A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).

經(jīng)檢驗A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).符合題意


【解析】(Ⅰ)有題設(shè)可判斷。(Ⅱ)根據(jù)題意代入“β函數(shù)”的形式可得到f(﹣x)+f(x)=2cosx+2a0,即a≠﹣cosx。(Ⅲ)由題意先判斷集合A和集合B內(nèi)元素的存在性。再假設(shè)存在x0<0,由反證法得到對任意的x<0,xA,故x∈B,即(﹣∞,0)B,則(0,+∞)A.這個結(jié)論。再討論特殊點假設(shè)0∈B時矛盾得到0∈A即A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).

練習(xí)冊系列答案
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積極參加班級工作

不太主動參加班級工作

合計

學(xué)習(xí)積極性高

18

7

25

學(xué)習(xí)積極性一般

6

19

25

合計

24

26

50


(1)如果隨機(jī)抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運(yùn)用獨立性檢驗的思想方法點撥:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系?并說明理由.(參考下表)

p(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.789

10.828

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B.2
C.3
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