Question

已知函數(shù)y=x²+(2m+1)x+m²-1(m∈R).

(1)m為何值時(shí),y的極小值是0？

(2)求證：不論m是什么數(shù)值,函數(shù)的圖象(即拋物線(xiàn))的頂點(diǎn)都在同一條直線(xiàn)l₁上.

(3)平行于l₁的直線(xiàn)中,哪些與拋物線(xiàn)相交,哪些不相交？求證：任一條平行于l₁而與拋物線(xiàn)相交的直線(xiàn),被各拋物線(xiàn)截出的線(xiàn)段都相等.

Answer 1

(1)解:用配方法得,

∴y的極小值為.

由,得,即當(dāng)時(shí),y的極小值是0.

(2)證明:函數(shù)圖象拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,

即(x、y為頂點(diǎn)的兩坐標(biāo)).

兩式相減得,此即各拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程,它的圖形是一條直線(xiàn).方程中不含m,因此,不論m是什么數(shù)值,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上.

(3)證明:設(shè)l:x-y=a為任一條平行于l₁的直線(xiàn),

由

消去y,得x²+2mx+m²-1+a=0,

即(x+m)²=1-a.

當(dāng)1-a≥0,即a≤1時(shí),直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交,而1-a＜0,即a＞1時(shí),直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)不相交.

若a≤1,則,

即,.

∴.

直線(xiàn)l被拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為

與m無(wú)關(guān).

因而直線(xiàn)l被各拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段都相等.