Question

【題目】設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且.

（1）求的值以及的實(shí)部的取值范圍；

（2）若，求證為純虛數(shù)；

（3）在（2）的條件下，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1.

【解析】

（1）設(shè)出復(fù)數(shù)，寫(xiě)出的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，把整理成最簡(jiǎn)形式，再根據(jù)所給的范圍，得到的虛部為0，實(shí)部屬于這個(gè)范圍，得到的實(shí)部的范圍；

（2）根據(jù)設(shè)出的，整理的代數(shù)形式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算，整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)上一問(wèn)做出的復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1，得到是一個(gè)純虛數(shù)；

（3），再利用基本不等式即可求得結(jié)果

解：（1）由是虛數(shù)，設(shè)，則

，

因?yàn)?/span>為實(shí)數(shù)，所以且，所以

所以，

此時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，得

（2）因?yàn)?/span>，且，

所以，

因?yàn)?/span>，，所以為純虛數(shù)

（3），

由，得，

故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值1