Question

8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切，則$\frac{{a}^{2}}$的取值范圍是（0，+∞）．

Answer 1

分析 利用直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切可得|a+b+1|=2，即b=1-a，從而可得0＜a＜1，0＜b＜1，$\frac{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，構(gòu)造函數(shù)f（a）=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，（0＜a＜1），借助導(dǎo)數(shù)即可求出f（a） 的范圍，即$\frac{{a}^{2}}$的取值范圍．

解答 解：∵直線x+y+a=0與圓（x-b）²+（y-1）²=2相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|b+1+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即|a+b+1|=2，
∴a+b=1，或a+b=-3
∵a，b為正實(shí)數(shù)
∴a+b=-3（舍去），
即b=1-a，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，$\frac{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，
構(gòu)造函數(shù)f（a）=$\frac{{a}^{2}}{1-a}$，（0＜a＜1），
則f′（a）=$\frac{2a（1-a）+{a}^{2}}{（1-a）^{2}}$=$\frac{2a-{a}^{2}}{（1-a）^{2}}$，
∵當(dāng)0＜a＜1時(shí)，2a-a²＞0，即f′（a）＞0，
∴f（a）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴0＜f（a）＜1，
則$\frac{{a}^{2}}$的取值范圍是（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系、不等式的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．