Question

3．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2\sqrt{2}≥0}\\{x≤2\sqrt{2}}\\{y≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$表示平面區(qū)域Ω，過區(qū)域Ω中的任意一個點P，作圓x²+y²=1的兩條切線且切點分別為A、B，當(dāng)∠APB最大時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當(dāng)α最小時，P的位置，利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，要使∠APB最大，
則P到圓心的距離最小即可，
由圖象可知當(dāng)OP垂直直線x+y-2$\sqrt{2}$=0，此時|OP|=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，|OA|=1，
設(shè)∠APB=α，則sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{α}{2}$=$\frac{π}{6}$
此時cosα=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\sqrt{3}•\sqrt{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．