Question

17．直線y=m分別與曲線y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，則|AB|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，a），B（x₂，a），則2x₁+3=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用導(dǎo)數(shù)求出|AB|的最小值．

解答 解：設(shè)A（x₁，a），B（x₂，a），則2x₁+3=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂）-$\frac{3}{2}$，
∴|AB|=x₂-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂）+$\frac{3}{2}$，
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+$\frac{3}{2}$，則y′=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{x}$），
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為2，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．