Question

已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，⊙是以為直徑的圓，直線：與⊙相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)，且滿足時(shí)，求弦長的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用待定系數(shù)法，求出的值即可，由已知，得，可得，把代入橢圓的方程，即可求出的值，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)，且滿足時(shí)，求弦長的取值范圍，可利用弦長公式來求，設(shè)，由，得，得，由于同時(shí)含有，可消元，由直線：與⊙相切，可得，這樣由弦長公式得，可求出的范圍即可，由已知，且滿足，由，可得，從而得的范圍，進(jìn)而得弦長的取值范圍．

試題解析：（1）依題意，可知，∴，

解得

∴橢圓的方程為 5分

（2）直線：與⊙相切，

則，即， 6分

由，得，

∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

設(shè)∴，

，

∴ ．9分

∴∴，

∴ ．11分

設(shè)，

則，

∵在上單調(diào)遞增∴ 13分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與二次曲線的位置關(guān)系．