Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a＜0，且對(duì)任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，先求函數(shù)y=

1

2

x²-lnx的定義域，進(jìn)而求得其導(dǎo)數(shù)，即y′=x-

1

x

，令其導(dǎo)數(shù)小于等于0，結(jié)合函數(shù)的定義域，解可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）若對(duì)于任意x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，則必有x∈[1，e]時(shí)，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立，分離參數(shù)a后，利用函數(shù)的最大值求解即可．

解答：解：（1）對(duì)于函數(shù)y=

1

2

x²-lnx，易得其定義域?yàn)閧x|x＞0}，
y′=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令

x2-1

x

≤0，
又由x＞0，則

x2-1

x

≤0?x²-1≤0，且x＞0；
解可得0＜x≤1，
即函數(shù)y=

1

2

x²-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]，
（2）由已知得x∈[1，e]時(shí)，f（x）≥（a-2）x恒成立，即x∈[1，e]時(shí)，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立．
即a≥

lnx-2x

x2-x

，
設(shè)g（x）=

lnx-2x

x2-x

，g′（x）=

( 1 x -2)(x2-x)-(lnx-2x)(2x-1)

(x2-x)2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g（x）≤g（e）=

1-2e

e2-e

，
故若a＜0，且對(duì)任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥

1-2e

e2-e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，對(duì)于函數(shù)的恒成立的問(wèn)題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．