【題目】如圖，四邊形與四邊形都是直角梯形，，，，四邊形為菱形，．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求的長．

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）取中點，連交于，連，可證得平面，可得在菱形中，，可得平面，同時可證得四邊形是平行四邊形，則，可得平面，可得證明；

（2）以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法及二面角的余弦值為，可得的長.

證明（1）：取中點，連交于，連．

，

，，，平面

平面，，

在菱形中，，

又，平面，平面

分別是的中點，，，

又，，，，

四邊形是平行四邊形，則，平面，

又平面，平面平面

（2）解：由（1）得平面，，

以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則，，，，，，，

設是平面的一個法向量，

則即

取，得，

設是平面的一個法向量，

則即

取，得，

∵二面角的余弦值為．

，解得

．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖1，在邊長為的正方形中，、分別為、的中點，沿將矩形折起使得，如圖2所示，點在上，，、分別為、中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓：（）過點與.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過橢圓的右焦點，且傾斜角為的直線和橢圓交于、兩點，對于橢圓上任一點，若，求的最大值.

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【題目】為了解某中學學生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況，調查部門在該校進行了一次問卷調查（共12道題），從該校學生中隨機抽取40人，統(tǒng)計了每人答對的題數(shù)，將統(tǒng)計結果分成，，，，，六組，得到如下頻率分布直方圖.

（1）若答對一題得10分，未答對不得分，估計這40人的成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）若從答對題數(shù)在內的學生中隨機抽取2人，求恰有1人答對題數(shù)在內的概率.

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【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：），經統(tǒng)計，其高度均在區(qū)間內，將其按分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為及以上的樹苗為優(yōu)質樹苗．

試驗區(qū)

試驗區(qū)

合計

優(yōu)質樹苗

20

非優(yōu)質樹苗

60

合計

（1）求圖中的值，并估計這批樹苗高度的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于，兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如上列聯(lián)表：將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為優(yōu)質樹苗與，兩個試驗區(qū)有關系，并說明理由．

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0．10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，過濾由核心部件濾芯來實現(xiàn).在使用過程中，濾芯需要不定期更換，其中濾芯每個200元.如圖是根據(jù)100臺該款凈水器在十年使用期內更換的濾芯的件數(shù)制成的柱狀圖.（以100臺凈水器更換濾芯的頻率代替1臺凈水器更換濾芯發(fā)生的概率）

（1）估計一臺凈水器在使用期內更換濾芯的件數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù).

（2）估計一臺凈水器在使用期內更換濾芯的件數(shù)大于10的概率.

（3）已知上述100臺凈水器在購機的同時購買濾芯享受5折優(yōu)惠（使用過程中如需再購買無優(yōu)惠），假設每臺凈水器在購機的同時購買濾芯10個，這100臺凈水器在使用期內，更換濾芯的件數(shù)記為a，所需費用記為y，補全下表，估計這100臺凈水器在使用期內購買濾芯所需總費用的平均數(shù).

100臺該款凈水器在試用期內更換濾芯的件數(shù)a

9

10

11

12

頻數(shù)

費用y

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【題目】在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，左、右頂點分別為、，線段的長為4.點在橢圓上且位于第一象限，過點，分別作，，直線，交于點.

（1）若點的橫坐標為-1，求點的坐標；

（2）直線與橢圓的另一交點為，且，求的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，求證：；

（3）設函數(shù)，其中為實常數(shù)，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并證明你的結論．

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