Question

已知（x²-

1

5 x3

）⁵的展開式中的常數項為T，f（x）是以T為周期的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：數形結合,轉化思想,函數的性質及應用,二項式定理

分析：根據題意，求出函數f（x）的周期是2；
在區(qū)間[-1，3]內，畫出函數y=f（x）和y=kx+k的圖象；
結合圖象求出函數g（x）=f（x）-kx-k在[-1，3]內有4個零點時k的取值范圍．

解答： 解：∵在（x²-

1

5 x3

）⁵的展開式中，
T_r+1=

C

r 5

•（x²）^5-r•(-

1

5 x3

)r=（-1）^r•

C

r 5

•(

1

5

)rx^10-2r-3r，
令10-2r-3r=0，得r=2，
∴常數項T=

C

2 5

×

1

5

=2；
∴f（x）的周期為2，且是偶函數，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴x∈[-1，0]時，f（x）=-x；
∴在區(qū)間[-1，3]內，畫出函數y=f（x）和y=kx+k的圖象，如圖所示；
結合圖象知，直線y=kx+k過定點A（-1，0），且k_AB=

1

3-(-1)

=

1

4

；
∴函數g（x）=f（x）-kx-k在[-1，3]內有4個零點時，
實數k的取值范圍是0＜k≤

1

4

．

點評：本題考查了二項式定理與函數零點的問題，也考查了轉化思想，解題時應利用函數的圖象，結合零點的概念，進行解答，是綜合題目．