Question

【題目】已知f（x）= （ax﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）討論f（x）的單調(diào)性．
（3）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

所以f（x）定義域?yàn)镽，

又f（﹣x）= （a﹣x﹣ax）=﹣ （ax﹣a﹣x）=﹣f（x），

所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

（2）解：任取x1＜x2

則f（x2）﹣f（x1）= （ax2﹣ax1）（1+a﹣（x1+x2））

∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0

①當(dāng)a＞1時(shí)，a2﹣1＞0，ax2﹣ax1＞0，則有f（x2）﹣f（x1）＞0，

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2﹣1＜0．，ax2﹣ax1＜0，則有f（x2）﹣f（x1）＞0，

所以f（x）為增函數(shù)

（3）解：當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）≥b恒成立，

即b小于等于f（x）的最小值，

由（2）知當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為 （ ）=﹣1，

∴b≤﹣1．

求b的取值范圍（﹣∞，﹣1]

【解析】（1）由函數(shù)的解析式可求函數(shù)的定義域，先證奇偶性：代入可得f（﹣x）=﹣f（x），從而可得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）再證單調(diào)性：利用定義任取x1＜x2 ， 利用作差比較f（x1）﹣f（x2）的正負(fù)，從而確當(dāng)f（x1）與f（x2）的大小，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）對一切x∈[﹣1，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的結(jié)論求其最小值，從而建立不等關(guān)系解之即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．