Question

我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“黃金搭檔”．已知F₁、F₂是一對“黃金搭檔”的焦點，P是它們在第一象限的交點，當(dāng)∠F₁PF₂=60°時，這一對“黃金搭檔”中雙曲線的離心率是______．

Answer 1

設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
設(shè)a₁是橢圓的實半軸，a₂是雙曲線的實半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

( c a2 )2

3

=1，
解得e₂=

3

．
故答案為：

3

．