Question

我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知、是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是它們在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（　�。�

A．             B．             C．            D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：記F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，由余弦定理得(2c)²=m²+n²-2mncos60⁰，即4c²=m²+n²-mn。

設(shè)a₁是橢圓的長半軸，a₂是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，即m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a₂²=0，可求得a₁=3a₂，e₁×e₂= 。所以這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是。

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)；余弦定理。

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解定義，且靈活應(yīng)用定義。本題考查了閱讀能力及推理判斷的能力，本部分題符號計(jì)算多，運(yùn)算量大，解題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免馬虎出錯(cuò)。