Question

（2013•浙江二模）我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱(chēng)為一對(duì)“黃金搭檔”．已知F₁、F₂是一對(duì)“黃金搭檔”的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂=60°時(shí)，這一對(duì)“黃金搭檔”中雙曲線的離心率是

3

．

Answer 1

分析：設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，設(shè)a₁是橢圓的長(zhǎng)半軸，a₁是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
設(shè)a₁是橢圓的實(shí)半軸，a₂是雙曲線的實(shí)半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

( c a2 )2

3

=1，
解得e₂=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正確理解“黃金搭檔”的含義．