Question

【題目】已知橢圓： 的離心率，過點、分別作兩平行直線、， 與橢圓相交于、兩點， 與橢圓相交于、兩點，且當直線過右焦點和上頂點時，四邊形的面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若四邊形是菱形，求正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意布列a，b的方程組，解之即可；（2）依題意可以分別設(shè)的方程為： ，由橢圓的對稱性得： ，所以是平行四邊形，所以是菱形，等價于，即，聯(lián)立方程，由韋達定理及垂直關(guān)系可得： ，結(jié)合條件建立m，k的不等關(guān)系，即可得到正數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ），橢圓方程可以化為，

直線過右焦點和上頂點時，方程可以設(shè)為，聯(lián)立得：

，所以四邊形的面積為，

所以橢圓方程為： ；

（Ⅱ）依題意可以分別設(shè)的方程為： ，由橢圓的對稱性得： ，所以是平行四邊形，所以是菱形，等價于，即，

將直線的方程代入橢圓方程得到： ，

由，

設(shè)，由，

得到： ，

從而： ，化簡得： ，

所以解得，

所以正數(shù)的取值范圍是．