Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣a（x2+x+1）．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，證明：f（x）+x2≥0；

（2）當(dāng)a時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）f（x）在R單調(diào)遞增；（3）（，1）

【解析】

（1）令，通過(guò)求導(dǎo)證明，即可得證；

（2）對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合（1）中結(jié)論得，即可得解；

（3）由條件得有三個(gè)實(shí)根，令，求出導(dǎo)數(shù)后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值即可得解.

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）+x2≥0等價(jià)于，

令，g′（x）＝ex﹣1，

可得g（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，∴，

∴ex﹣（x+1）≥0即f（x）+x2≥0；

（2）當(dāng)時(shí)，．，

∴函數(shù)f（x）在R單調(diào)遞增；

（3）函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn) 有三個(gè)實(shí)根，

令，，

∴h（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

且x→﹣∞時(shí)，h（x）→0，x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，h（0）＝1， ，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）．