Question

函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+sin²x（x∈R）的圖象向左平移

π

6

個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則以下說法錯誤的是（　　）

• A、（

  5π

  12

  ，

  1

  2

  ）是函數(shù)y=g（x）的圖象的一個對稱中心
• B、函數(shù)y=g（x）的最小正周期是π
• C、函數(shù)y=g（x）在[-

  π

  3

  ，

  π

  3

  ]上單調(diào)遞增
• D、直線x=-

  π

  3

  是函數(shù)y=g（x）的圖象的一條對稱軸

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）的解析式，再根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性、圖象的對稱性和單調(diào)性，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：把函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

（x∈R）
的圖象向左平移

π

6

個單位后，
得到函數(shù)y=g（x）=sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的圖象，
當(dāng)x=

5π

12

時，f（x）=

1

2

，是函數(shù)的最大值與最小值的平均值，
故（

5π

12

，

1

2

）是函數(shù)y=g（x）的圖象的一個對稱中心，故A正確．
由于函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π，故B正確．
在[-

π

3

，

π

3

]上，2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，故g（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

在[-

π

3

，

π

3

]上沒有單調(diào)性，故C錯誤．
當(dāng)x=-

π

3

時，g（x）=-1+

1

2

=-

1

2

，是g（x）的最小值，故直線x=-

π

3

是函數(shù)y=g（x）的圖象的一條對稱軸，
故D正確，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、圖象的對稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．