【題目】已知函數(shù),

當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

當(dāng)時(shí),曲線和曲線是否存在公共切線?并說明理由.

【答案】(1);(2)存在公共切線,理由詳見解析.

【解析】

(1)構(gòu)造函數(shù),求出其最大值,解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)假設(shè)存在這樣的直線且直線與曲線和曲線分別相切與點(diǎn).分別求出兩條切線方程,根據(jù)斜率與縱截距建立方程組,減元后得到,構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性與極值即可.

解:,則.

,則,若,則.

所以上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以的極大值點(diǎn),也是的最大值點(diǎn),即.

恒成立,則只需,解得.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

假設(shè)存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點(diǎn).

,得.

曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.

同理可得,

曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.

所以,即

構(gòu)造函數(shù)

存在直線與曲線和曲線相切,

等價(jià)于函數(shù)上有零點(diǎn)

對(duì)于.

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以上是減函數(shù).

,,所以存在,使得,即.

且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.

綜上,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以的極大值,也是最大值,且.

,,所以內(nèi)和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).

故假設(shè)成立,即曲線和曲線存在公共切線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:

(Ⅲ)設(shè),記在區(qū)間上的最大值為Ma),當(dāng)Ma)最小時(shí),求a的值.

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【題目】某機(jī)構(gòu)組織語文、數(shù)學(xué)學(xué)科能力競賽,按照一定比例淘汰后,頒發(fā)一二三等獎(jiǎng).現(xiàn)有某考場的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,其中數(shù)學(xué)科目成績?yōu)槎泉?jiǎng)的考生有人.

(Ⅰ)求該考場考生中語文成績?yōu)橐坏泉?jiǎng)的人數(shù);

(Ⅱ)用隨機(jī)抽樣的方法從獲得數(shù)學(xué)和語文二等獎(jiǎng)的學(xué)生中各抽取人,進(jìn)行綜合素質(zhì)測試,將他們的綜合得分繪成莖葉圖,求樣本的平均數(shù)及方差并進(jìn)行比較分析;

(Ⅲ)已知本考場的所有考生中,恰有人兩科成績均為一等獎(jiǎng),在至少一科成績?yōu)橐坏泉?jiǎng)的考生中,隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談,求兩人兩科成績均為一等獎(jiǎng)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以下說法錯(cuò)誤的是( )

A.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線.

B.上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù),若,則為極值點(diǎn).

C.,,則.

D.為拋物線的兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則直線過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:在區(qū)間上只有唯一的零點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機(jī)抽取了容量為的樣本,測量樹苗高度(單位:),經(jīng)統(tǒng)計(jì),其高度均在區(qū)間內(nèi),將其按,,,,,分成組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為27cm及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.

(1)求圖中的值;

(2)已知所抽取這棵樹苗來自于兩個(gè)試驗(yàn)區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表:將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系,并說明理由;

參考公式:,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對(duì)值不超過1,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

(1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;

(2)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的數(shù)陣中每一行從左到右均是首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列,設(shè)第行的等差數(shù)列中的第k項(xiàng)為2,3,,,公差為,若,,且,,也成等差數(shù)列.

關(guān)于m的表達(dá)式;

若數(shù)陣中第i行所有數(shù)之和,第j列所有數(shù)之和為,是否存在i,j滿足,使得成立?若存在,請(qǐng)求出i,j的一組值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2014·長春模擬)對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測試,測得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下表:


27

38

30

37

35

31


33

29

38

34

28

36

(1)畫出莖葉圖.

(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差,并判斷選誰參加比賽更合適?

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同步練習(xí)冊(cè)答案