Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，M是SB的中點(diǎn)，AB∥CD，BC⊥CD，且AB=BC=2，CD=SD=1，又SD⊥面SAB．
（1）證明：CD⊥SD；
（2）證明：CM∥面SAD；
（3）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用平行線(xiàn)中的一條直線(xiàn)與令一條直線(xiàn)垂直，推出另一條直線(xiàn)垂直證明CD⊥SD；
（2）取SA中點(diǎn)N，連接ND，NM，證明NMCD是平行四邊形，通過(guò)ND∥MC，證明CM∥面SAD；
（3）利用V_S-ABCD：V_S-ABD=S_ABCD：S_△ABD，求出V_S-ABD，即可求四棱錐S-ABCD的體積．

解答：解：（1）證明：由SD⊥面SAB，AB?面SAB，
所以SD⊥AB，又AB∥CD，
所以CD⊥SD；
（2）證明：取SA中點(diǎn)N，連接ND，NM，
則NM∥AB，且MN=

1

2

AB=DC，AB∥CD，
所以NMCD是平行四邊形，
ND∥MC，且ND?平面SAD，MC?平面SAD，
所以CM∥面SAD；
（3）V_S-ABCD：V_S-ABD=S_ABCD：S_△ABD=3：2，
過(guò)D作DH⊥AB，交于H，由題意得，BD=AD=

1+22

=

5

，
在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB=

( 5 )2-1

=2．
所以，VS-ABD=VD-SAB=

1

3

• DS•S△ABS=

3

3

，
四棱錐S-ABCD的體積為：

3

2

×

3

3

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面平行的證明，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．