Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A′B′C′棱長(zhǎng)均為2，E為AB中點(diǎn)．點(diǎn)D在側(cè)棱BB′上．
（Ⅰ）求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)AD+DC′取最小值時(shí)，在CC′上找一點(diǎn)F，使得EF∥面ADC′．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）將三棱柱的側(cè)面展開，由題意知當(dāng)D為BB′中點(diǎn)時(shí)，AD+DC′最小，由此能求出AD+DC′的最小值．
（Ⅱ）過點(diǎn)E作EM∥AD交BB′于M，M為BD中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MF∥DC′交CC′于F，由面MEF∥面ADC′，得EF∥面ADC′．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，將三棱柱的側(cè)面展開，
由題意知當(dāng)D為BB′中點(diǎn)時(shí)，AD+DC′最小，
最小值為d=

42+22

=2

5

．（4分）
（Ⅱ）過點(diǎn)E作EM∥AD交BB′于M，所以M為BD中點(diǎn)，（6分）
過點(diǎn)M作MF∥DC′交CC′于F，
∴C′F=

1

2

，（10分）
∵EM∩MF=M，
∴面MEF∥面ADC′，∴EF∥面ADC′．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩線段和的最小值的求法，考查使直線與平面平行的點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．