【題目】如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點.
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱錐V-ABC的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2) 證明見解析;(3)
【解析】
(1)利用三角形的中位線得出OM∥VB,利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC;
(2)證明OC⊥平面VAB,即可證明平面MOC⊥平面VAB
(3)利用等體積法求三棱錐V-ABC的體積
(1)證明:∵O,M分別為AB,VA的中點,
∴OM∥VB,
∵VB平面MOC,OM平面MOC,
∴VB∥平面MOC;
(2)∵AC=BC,O為AB的中點,
∴OC⊥AB,
∵平面VAB⊥平面ABC,OC平面ABC,
∴OC⊥平面VAB,
∵OC平面MOC,
∴平面MOC⊥平面VAB
(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,
∴等邊三角形△VAB 中,S△VAB=,
∵OC⊥平面VAB,
∴VC-VAB=S△VAB=
,
∴VV-ABC=VC-VAB=
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【題目】已知數列是各項均不為
的等差數列,公差為
,
為其前
項和,且滿足
,
.數列
滿足
,
為數列
的前n項和.
(1)求、
和
;
(2)若對任意的,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍.
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【題目】已知圓M與直線相切于點
,圓心M在x軸上.
(1)求圓M的方程;
(2)過點M且不與x軸重合的直線與圓M相交于A,B兩點,O為坐標原點,直線OA,OB分別與直線x=8相交于C,D兩點,記△OAB、△OCD的面積分別是S1、S2.求的取值范圍.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60°,G為BC的中點,H為CD中點.
(1)求證:平面FGH∥平面BED;
(2)求證:BD⊥平面AED;
(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.
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【題目】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,,平面BB1C1C
底面ABCD,點
、F分別是線段
、BC的中點.
(1)求證:AF//平面;
(2)求證:平面BB1C1C⊥平面.
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【題目】在直角坐標平面上的一列點簡記為
,若由
構成的數列
滿足
,(其中
是與
軸正方向相同的單位向量),則稱
為“
點列”.
(1)試判斷:,...是否為“
點列”?并說明理由.
(2)若為“
點列”,且點
在點
的右上方.任取其中連續(xù)三點
,判斷
的形狀(銳角,直角,鈍角三角形),并證明.
(3)若為“
點列”,正整數
滿足:
,且
,求證:
.
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【題目】某海警基地碼頭的正西方向
海里處有海礁界碑
,過點
且與
成
角(即北偏東
)的直線
為此處的一段領海與公海的分界線(如圖所示)。在碼頭
的正西方向且距離
點
海里的領海海面
處有一艘可疑船停留,基地指揮部決定在測定可疑船的行駛方向后,海警巡邏艇從
處即刻出發(fā)。若巡邏艇以可疑船的航速的
倍
前去攔截,假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速,將在點
處截獲可疑船。
(1)若可疑船的航速為海里
小時,
,且可疑船沿北偏西
的方向朝公海逃跑,求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間。
(2)若要確保在領海內(包括分界線)成功攔截可疑船,求的最小值。
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