Question

20．f（x）=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$在[-2m+3，-m+2]（m＞1）上的最小值是-$\frac{9}{4}$時(shí)．求m的值．

Answer 1

分析 求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)，由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值情況，可令端點(diǎn)處的值為最小值，解方程可得m的值，再加以檢驗(yàn)即可得到所求．

解答 解：f（x）=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$
=$\frac{3}{4}$（x²+2x-3）=$\frac{3}{4}$[（x+1）²-4]，
對(duì)稱軸為x=-1，f（-1）=-3，
由題意可得最小值可能f（2-m）=-$\frac{9}{4}$
或f（3-2m）=-$\frac{9}{4}$，
即有$\frac{3}{4}$[（3-m）²-4]=-$\frac{9}{4}$，或$\frac{3}{4}$[（4-2m）²-4]=-$\frac{9}{4}$，
解得m=2或4或$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．
當(dāng)m=2時(shí)，區(qū)間為[-1，0]，在對(duì)稱軸的右邊為增區(qū)間，
即有f（-1）最小，且為-3，不成立；
當(dāng)m=4時(shí)，區(qū)間為[-5，-2]，在對(duì)稱軸的左邊為減區(qū)間，
即有f（-2）最小，且為-$\frac{9}{4}$成立；
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，區(qū)間為[0，$\frac{1}{2}$]，為增區(qū)間，f（0）最小，且為-3，不成立；
當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，區(qū)間為[-2，-$\frac{1}{2}$]，且-1∈[-2，-$\frac{1}{2}$]，f（-1）最小，且為-3，不成立．
綜上可得，m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用最值取得的情況，求解參數(shù)的值，再檢驗(yàn)，有時(shí)很有效，值得重視．