Question

已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)F（x）=(x²+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的單調(diào)性；

（2）當0＜a＜b時，求證：函數(shù)f (x) 定義在區(qū)間[a,b]上的值域的長度大于（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n –m）．

（3）方程f(x)=是否存在實數(shù)根？說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增

（2）略

（3）不存在實數(shù)根

【解析】（1）∵F（x）=(x²+1)lnx –2x+2．

∴F ′（x）= 2xlnx+．

∴當x≥1時，F′（x）≥0且僅當x = 1時F′（x）= 0 ∴F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增。

（2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域為[lna,lnb][來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]

 ∴要證值域的長度大于，

 即證lnb –lna＞ 

 只要證ln 

∵0＜a＜b,∴令 

則只要證lnx＞  （x>1）

即證（x²+1）lnx –(2x –2)>0  (※)

由（1）可知F(x)在（1，+∞）上單調(diào)遞增 ∴F（x）＞F（1）= 0 所以（※）式成立．

∴f (x)在[a, b]上的值域的長度大于．……9分

（3）∵f (x) =  xlnx= 

令h (x) = xlnx(x>0)．則h ′（x）=lnx+1，

易知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當時，

令，則

易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

當時，

∵∴方程f(x)=不存在實數(shù)根