Question

【題目】如圖所示，某公路AB一側有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°．當?shù)卣�府擬在中間開挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON=30°．

（1）若M在距離A點2km處，求點M，N之間的距離；

（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小．試確定M的位置，使△OMN的面積最小，并求出最小面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在△OAB，根據(jù)OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°，可以求出,在△OAM中,運用余弦定理,求出, 在△OAN中,可以求出,在△OMN中，運用正弦定理求出;

（2）解法1：在△OAM中，由余弦定理可以求出的表達式, 的表達式,在△OAN中,可以求出的表達式,運用正弦定理求出,運用面積求出的表達式，運用換元法、運用基本不等式，求出的最小值；

解法2：設∠AOM=θ，0＜θ＜,在△OAM中，由正弦定理得OM的表達式．在△OAN中，由正弦定理得ON的表達式．利用面積公式可得出，化簡整理求最值即可＝

（1）在△OAB中，因為OA=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．

在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcosA=7，

所以OM=，所以cos∠AOM==，

在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．

在△OMN中，由=，得MN=×=．

（2）解法1：設AM=x，0＜x＜3．

在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcosA=x2-3x+9，

所以OM=，

所以=，

在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）

=cos∠AOM=．

由=，

得．

所以S△OMN=OMONsin∠MON=

=，（0＜x＜3）．

令6-x=t，則x=6-t，3＜t＜6，則S△OMN==（t-9+）

≥（2-9）=．

當且僅當t=，即t=3，x=6-3時等號成立，S△OMN的最小值為．

所以M的位置為距離A點6-3km處，可使△OMN的面積最小，最小面積是

km2．

解法2：設∠AOM=θ，0＜θ＜

在△OAM中，由=，得OM=．

在△OAN中，由=，得ON==．

所以S△OMN=OMONsin∠MON=

===

==，（0＜θ＜）．

當2θ+=，即θ=時，S△OMN的最小值為．

所以應設計∠AOM=，可使△OMN的面積最小，最小面積是km2．