Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=n，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=a₃，cosC=

1

a2

，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知等式得出a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，a_n-2-a_n-3=n-2，…，a₂-a₁=2，左右兩邊分別相加即可確定出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）由通項(xiàng)公式a_n，確定出AB與cosC，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出a+b的最大值，即可確定出三角形ABC周長的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，
a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，a_n-2-a_n-3=n-2，…，a₂-a₁=2，
相加得：a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+a_n-2+a_n-3+…+a₂-a₁=n+n-1+n-2+…+2，
即a_n-a₁=

n(n+1)

2

-1，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=c=a₃=6，cosC=

1

a2

=

1

3

，
∴由余弦定理得：36=a²+b²-2abcosC=a²+b²-

2

3

ab=（a+b）²-

8

3

ab≥（a+b）²-

8

3

×

(a+b)2

4

=

1

3

（a+b）²，
整理得：（a+b）²≤108，即a+b≤6

3

，
則△ABC周長最大值為6+6

3

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及數(shù)列的遞推，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．