Question

如圖，半圓O的直徑AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)C平分弧AE，過C作AB的垂線交AB于D，交AE干F．
（Ⅰ）求證：CE²=AE•AF：
（Ⅱ）若AE是∠CAB的角平分線，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,相似三角形的性質(zhì)

專題：立體幾何

分析：（I）利用點(diǎn)C平分

AE

，可得

CE

=

CA

，CE=CA，∠CAE=∠CEA=∠FCA，進(jìn)而得到△AFC∽△ECA．即可得出．
（II）由AE平分∠CAB，可得∠BAE=∠EAC=∠CEA，可得CE∥AB，于是∠ECD=90°，∠CAB=60°，即可得出．

解答： （I）證明：∵點(diǎn)C平分

AE

，∴

CE

=

CA

，∴CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=∠FCA，
∴△AFC∽△ECA．
∴

AF

EC

=

AC

EA

，
∴CE²=AE•AF．
（II）解：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠EAC=∠CEA，
∴CE∥AB，
∴∠ECD=90°，∠BAE=∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠CAB=60°，
∴CD=2sin60°=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題．