Question

在一條筆直的工藝流水線上有n個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為x₁，x₂，……，x_n，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人．現(xiàn)要在流水線上建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．

(Ⅰ)若n＝3，每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置；

(Ⅱ)若n＝5，工作臺(tái)從左到右的人數(shù)依次為3，2，1，2，2，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為． 　　(Ⅰ)．　　分 　　當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)； 　　當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)．　　分 　　所以，必須位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，式取最小值，且，即供應(yīng)站的位置為．分 　　(Ⅱ)由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為 　　．　　分 　　類似于(Ⅰ)的討論知，，且有 　　　　分 　　所以，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是常數(shù)．故供應(yīng)站位置位于區(qū)間上任意一點(diǎn)時(shí)，均能使函數(shù)取得最小值，且最小值為　　分