Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）當x∈[0，a]，a＞0時，設f（x）的最大值是h（a），求h（a）的表達式．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，列表寫出增區(qū)間、減區(qū)間、極小值、極大值，最后加以小結，注意兩個減區(qū)間之間應隔開；
（2）對a討論，分0＜a≤1，a＞1兩類，根據(jù)（1）的單調區(qū)間，分別求出函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值，最后用分段函數(shù)形式寫出h（a）即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

∴f（x）的遞減區(qū)間是：（-∞，-1），（1，+∞），遞增區(qū)間是（-1，1），
f（x）_極小值=f（-1）=-2，f（x）_極大值=f（1）=2；
（2）由（1）知，當0＜a≤1時，f（x）在[0，a]上遞增，
此時f（x）_max=f（a）=-a³+3a，
當a＞1時，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，a）上遞減，
即當x∈[0，a]時f（x）_max=f（1）=2．
綜上有h（a）=

3a-a3，0＜a≤1 2，a＞1

．

點評：本題主要考查應用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，同時考查分類討論的思想方法，必須掌握數(shù)學中的這一重要思想方法在解決復雜問題中的應用，準確分類是正確解題的關鍵．