Question

13．已知點(diǎn)P為拋物線為y²=9x上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（4，2），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則當(dāng)|PF|+|PA|最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{9}$，2）．

Answer 1

分析 求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，把|PA|+|PF|轉(zhuǎn)化為|PA|+|PM|，利用當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入拋物線y²=9x，解得x值，即得P的坐標(biāo)．

解答 解：由題意得 F（$\frac{9}{4}$，0），準(zhǔn)線方程為 x=-$\frac{9}{4}$，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，
則由拋物線的定義得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值為|AM|=4-（-$\frac{9}{4}$）=$\frac{25}{4}$．
把y=2代入拋物線y²=9x 得 x=$\frac{4}{9}$，故點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{4}{9}$，2），
故答案為：（$\frac{4}{9}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．