Question

2．函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，試判斷函數(shù)f（x+3）的奇偶性．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期，然后利用此周期推導(dǎo)即可．

解答 解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x）+f（2-x）=0，f（x）+f（-2-x）=0，
故有f（2-x）=f（-2-x），
函數(shù)f（x）是周期T=[2-（-2）]=4的周期函數(shù)．
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
即函數(shù)f（x+3）是奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．