已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖象在點(-1,2)處的切線恰好與x-3y=0垂直,又f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.m≤-3
B.m≥0
C.m<-3或m>0
D.m≤-3或m≥0
【答案】
分析:求出f′(x),根據(jù)切線與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3,得到f′(-1)=-3,把切點代入f(x)中得到f(-1)=2,兩者聯(lián)立求出a和b的值,確定出f(x)的解析式,然后求出f′(x)大于等于0時x的范圍為(-∞,-2]或[0,+∞)即為f(x)的增區(qū)間根據(jù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,得到關于m的不等式,即可求出m的取值范圍.
解答:解:f′(x)=3ax
2+2bx,因為函數(shù)過(-1,2),且切線與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3,
得到:
即
解得:
,則f(x)=x
3+3x
2f′(x)=3x
2+6x=3x(x+2)≥0解得:x≥0或x≤-2,即x≥0或x≤-2時,f(x)為增函數(shù);
所以[m,m+1]?(-∞,-2]或[m,m+1]?[0,+∞)即m+1≤-2或m≥0,
解得m≤-3或m≥0
故選D
點評:考查學生掌握兩條直線垂直時斜率的關系,會利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程,會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.本題的突破點是確定函數(shù)的解析式.